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<!DOCTYPE html>

<title>Optimierungsproblem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Optimierungsproblem</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein Optimierungsproblem ist ein mathematisches Problem. Die Aufgabe besteht darin, in einer Menge von Alternativen die beste bezüglich eines Zielkriteriums zu bestimmen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Ein Beispiel ist das <a href="Problem_des_Handlungsreisenden" title="Problem des Handlungsreisenden">Problem des Handlungsreisenden</a>, also die Bestimmung einer kürzesten Rundreise durch eine Reihe von Städten. Die Modellierung und das Lösen von Optimierungsproblemen sind Teil der <a href="Mathematische_Optimierung" title="Mathematische Optimierung">mathematischen Optimierung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Definition_und_Begriffe">Mathematische Definition und Begriffe</h2></div>

Ein Optimierungsproblem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> besteht aus einer <a href="Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">reellwertigen</a> Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, einer zulässigen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">, Entscheidungsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und festen problemdefinierenden Eingangsdaten wie etwa den Abständen zwischen den zu besuchenden Städten des Problems des Handlungsreisenden oder dem Wert der Gegenstände im <a href="Rucksackproblem" title="Rucksackproblem">Rucksackproblem</a>. Es ist gegeben durch

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P:\qquad \min _{x}f(x)\quad {\text{s. t.}}\quad x\in M.}</annotation>

</semantics>

</math></dd></dl>

Üblicherweise ist hierbei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> in einen <a href="Raum_(Mathematik)" title="Raum (Mathematik)">Raum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">, wie etwa den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy">, eingebettet. In diesem Fall gelten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:V\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:V\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35e7a82bfffbee0579a9fbba88ca48a3117a5c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.295ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:V\to \mathbb {R} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subseteq V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subseteq V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55f39aa11d96d82180ac69e1235b17dcd79b6115.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.328ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle M\subseteq V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa374e20b2db7f6b8caa71ff1865f7f84f215c9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.958ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in V}" loading="lazy">. Die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{s. t.}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{s. t.}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6c51642df684431c8aa1c970e88d7757439e0b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.695ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\text{s. t.}}}" loading="lazy"> geht auf den englischen Ausdruck subject to zurück und bedeutet, dass bei der Suche nach der Lösung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> nur sogenannte zulässige Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df57d73e9532bb93a1439890bcddbc2806f5859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in M}" loading="lazy"> infrage kommen. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \min }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \min }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/695d28931288a686335c3969dfd15bb76ea873db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.875ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \min }" loading="lazy"> die Optimierungsrichtung angibt, läge in diesem Fall ein Minimierungsproblem vor. Bei einem Maximierungsproblem sind Lösungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> mit möglichst großen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> gesucht, aber dieser Fall lässt sich durch Negieren von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf den vorherigen zurückführen. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> lösbar ist, so gibt es mindestens einen Optimalpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\star }\in M}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\star }\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b0faf2741e7e381b1eb9514aac4033c3336575.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.667ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{\star }\in M}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x^{\star })\leq f(x)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x^{\star })\leq f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce5e0d7c0516c98821b6303f2fcb6497650602ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x^{\star })\leq f(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df57d73e9532bb93a1439890bcddbc2806f5859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in M}" loading="lazy"> und einen eindeutigen Optimalwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=f(x^{\star })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=f(x^{\star })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202047ef01bd5bb78ad780e339d52c1aacc8007e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.698ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v=f(x^{\star })}" loading="lazy">. Zu beachten ist, dass der Optimalpunkt in der Regel ein hochdimensionaler Vektor ist (zum Beispiel die optimale Route im Falle des Problems des Handlungsreisenden) und der Optimalwert eine <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahl</a> ist (etwa die Länge der kürzesten Tour). Die zulässige Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> wird in der Regel durch Gleichungen und Ungleichungen beschrieben und kann daher durch

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\{x\in V|\ g_{i}(x)\leq 0,\ h_{j}(x)=0,\ i\in I,\ j\in J\}}</annotation>

</semantics>

</math></dd></dl>

dargestellt werden, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> die Indexmenge der Ungleichungsrestriktionen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"> die Indexmenge der Gleichungsrestriktionen darstellt. Restriktionen werden auch als Nebenbedingungen oder Constraints bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<ul><li>Anstatt ein Optimierungsproblem <a href="Algebraisch" class="mw-redirect" title="Algebraisch">algebraisch</a>, also durch Gleichungen und Ungleichungen, zu beschreiben, ist es manchmal auch üblich, die Problemstellung in der Sprache der <a href="Graphentheorie" title="Graphentheorie">Graphentheorie</a> zu formulieren. Dies passiert insbesondere oft in der <a href="Kombinatorische_Optimierung" title="Kombinatorische Optimierung">kombinatorischen Optimierung</a> wie beispielsweise bei der Formulierung des Problem des Handlungsreisenden.<a href="#cite_note-3">[3]</a></li>

<li>Die funktionale Beschreibung eines Optimierungsproblems, das heißt die Wahl der Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ce36142a0a1c6660e82bdf3ef3f1551317efe0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.909ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/614689f15f73ad5b4a5d7fa837a72614202b0d89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.249ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j}}" loading="lazy">, ist in der Regel nicht eindeutig, sondern das Ergebnis eines Modellierungsprozesses, welcher eine ausreichend genaue Beschreibung der Anwendung bei einer möglichst guten Lösbarkeit des resultierenden Problems gewährleisten soll. Steht die Modellierung im Vordergrund, so spricht man auch von einem <a href="Optimierungsmodell" title="Optimierungsmodell">Optimierungsmodell</a>.</li></ul>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Optimierungsmodell" title="Optimierungsmodell">Optimierungsmodell</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ausgewählte_Beispiele">Ausgewählte Beispiele</h2></div>

<ul><li>Das Optimierungsproblem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P:\qquad \min _{x\in \mathbb {R} ^{2}}x_{1}^{2}+x_{2}\quad {\text{s. t.}}\quad x_{2}\geq -1}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P:\qquad \min _{x\in \mathbb {R} ^{2}}x_{1}^{2}+x_{2}\quad {\text{s. t.}}\quad x_{2}\geq -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a03261bde29cd5930784c112eec9de102e6581d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.171ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle P:\qquad \min _{x\in \mathbb {R} ^{2}}x_{1}^{2}+x_{2}\quad {\text{s. t.}}\quad x_{2}\geq -1}" loading="lazy"> ist ein Optimierungsproblem mit eindeutigem Optimalpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\star }=(0,-1)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\star }=(0,-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c03bdabe0426d966ef5ed9097a5142424b9ca0de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.459ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{\star }=(0,-1)}" loading="lazy"> und Optimalwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8ee4e4f9cf060209e335189222001a91daee0e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.197ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle v=-1}" loading="lazy">.</li>

<li><a href="Rucksackproblem" title="Rucksackproblem">Rucksackproblem</a></li>

<li><a href="Problem_des_Handlungsreisenden" title="Problem des Handlungsreisenden">Problem des Handlungsreisenden</a></li>

<li><a href="Transportproblem" title="Transportproblem">Transportproblem</a></li>

<li><a href="Scheduling" title="Scheduling">Scheduling-Probleme</a> (siehe <a href="#cite_note-4">[4]</a> für eine Ausarbeitung als Optimierungsproblem)</li>

<li>Parameterschätzung in Statistik/Machine Learning durch Minimierung der <a href="Verlustfunktion_(Statistik)" title="Verlustfunktion (Statistik)">Verlustfunktion</a> (engl. loss function) etwa durch die <a href="Methode_der_kleinsten_Quadrate" title="Methode der kleinsten Quadrate">Methode der kleinsten Quadrate</a> oder die <a href="Median-Regression" title="Median-Regression">Methode der kleinsten absoluten Abweichungen</a></li>

<li>Probleme der <a href="Graphentheorie" title="Graphentheorie">Graphentheorie</a> wie das Problem der <a href="K%C3%BCrzester_Pfad" title="Kürzester Pfad">kürzesten Pfade</a> oder der Frage nach optimalen <a href="Fl%C3%BCsse_und_Schnitte_in_Netzwerken" title="Flüsse und Schnitte in Netzwerken">Flüssen und Schnitten in Netzwerken</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klassifikation_von_Optimierungsproblemen">Klassifikation von Optimierungsproblemen</h2></div>

Optimierungsprobleme lassen sich anhand ihrer mathematischen Eigenschaften klassifizieren.

<ul><li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> unendlichdimensional ist, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein unendlichdimensionales Optimierungsproblem. Dies tritt etwa in der <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsrechnung</a> oder der <a href="Optimale_Steuerung" title="Optimale Steuerung">optimalen Steuerung</a> auf. Im Folgenden gehen wir von endlichdimensionalen Optimierungsproblemen aus.</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> mehrere Zielfunktionen besitzt, sprechen wir von der <a href="Mehrzieloptimierung" title="Mehrzieloptimierung">Mehrzieloptimierung</a> und bezeichnen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> als multikriterielles Optimierungsproblem. Im Folgenden gehen wir von Optimierungsproblemen mit einer Zielfunktion aus. Diese werden auch skalare Optimierungsprobleme genannt.</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> keine Restriktionen besitzt, d. h. falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6abea7346f0dd336ee24ba557c35f9f3bb10a311.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.328ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=V}" loading="lazy"> gilt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein unrestringiertes Optimierungsproblem, andernfalls ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein restringiertes Optimierungsproblem.</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {B} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {B} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d3d9f665853e3b69c146897b55dfa80b9ac26f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.654ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {B} ^{n}}" loading="lazy"> gilt, d. h. alle Entscheidungsvariablen binär sind, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> keine Restriktionen besitzt und die Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> quadratisch ist, so spricht man von <a href="Quadratische_unrestringierte_bin%C3%A4re_Optimierung" title="Quadratische unrestringierte binäre Optimierung">quadratischer unrestringierter binärer Optimierung</a> (QUBO).</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/615f4ee928c0bb72f0a5d7a88580f7f5c739f06c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gilt und die Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sowie die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2090db0c7dd3a8a8c9bc051d7f6e786e0ff604.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}" loading="lazy"> linear sind, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein (kontinuierliches) <a href="Lineare_Optimierung" title="Lineare Optimierung">lineares Optimierungsproblem</a> (LP).</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/615f4ee928c0bb72f0a5d7a88580f7f5c739f06c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gilt, die die Gleichungen definierende Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2090db0c7dd3a8a8c9bc051d7f6e786e0ff604.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}" loading="lazy"> linear sind, und die Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sowie ggf. Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> quadratisch sind, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein (kontinuierliches) <a href="Quadratische_Optimierung" title="Quadratische Optimierung">quadratisches Optimierungsproblem</a> (QP) bzw. ein (kontinuierliches) <a href="Quadratische_Optimierung" title="Quadratische Optimierung">quadratisches Optimierungsproblem mit quadratischen Nebenbedingungen</a> (QCQP).</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/615f4ee928c0bb72f0a5d7a88580f7f5c739f06c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gilt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexe Menge</a> ist sowie die Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine <a href="Konvexe_und_konkave_Funktionen" title="Konvexe und konkave Funktionen">konvexe Funktion</a>, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein <a href="Konvexe_Optimierung" title="Konvexe Optimierung">konvexes Optimierungsproblem</a>. Man beachte, das die Zielfunktion nicht zwangsläufig differenzierbar sein muss, da auf das <a href="Subdifferential" title="Subdifferential">Subdifferential</a> zurückgegriffen werden kann und auch die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> nicht selbst konvex sein müssen, um eine konvexe zulässige Menge zu definieren<a href="#cite_note-5">[5]</a>. Spezialfälle für konvexe Optimierungsprobleme sind <a href="Konisches_Programm" title="Konisches Programm">konische Optimierungsprobleme</a> (insbesondere <a href="Semidefinite_Programmierung" title="Semidefinite Programmierung">semi-definite</a> und <a href="SOCP" title="SOCP">Second-Order-Cone Probleme</a>) und <a href="Geometrisches_Programm" title="Geometrisches Programm">geometrische Optimierungsprobleme</a>.</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/615f4ee928c0bb72f0a5d7a88580f7f5c739f06c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gilt und beliebig viele der Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2090db0c7dd3a8a8c9bc051d7f6e786e0ff604.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}" loading="lazy"> beliebig nichtlinear (jedoch meistens stetig differenzierbar) sind, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein <a href="Nichtlineare_Optimierung" title="Nichtlineare Optimierung">nichtlineares Optimierungsproblem</a> (NLP).</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {Z} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {Z} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d61d589fcf161e7dfd06c9e1aaac7427807b87a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.654ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {Z} ^{n}}" loading="lazy"> gilt und die Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sowie die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2090db0c7dd3a8a8c9bc051d7f6e786e0ff604.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}" loading="lazy"> linear sind, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein <a href="Ganzzahlige_lineare_Optimierung" title="Ganzzahlige lineare Optimierung">ganzzahliges lineares Optimierungsproblem</a> (ILP).</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ed9ac67680c2f2e960e7804c29724c1c96fc773.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.702ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }" loading="lazy"> gilt, d. h. falls einige der Entscheidungsvariablen kontinuierlich und andere ganzzahlig sind, und die Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sowie die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2090db0c7dd3a8a8c9bc051d7f6e786e0ff604.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}" loading="lazy"> linear sind, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein <a href="Gemischt-ganzzahlige_Optimierung#Gemischt-ganzzahlige_lineare_Optimierungsprobleme" title="Gemischt-ganzzahlige Optimierung">gemischt-ganzzahliges lineares Optimierungsproblem</a> (MILP oder MIP).</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ed9ac67680c2f2e960e7804c29724c1c96fc773.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.702ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }" loading="lazy"> gilt und beliebig viele der Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2090db0c7dd3a8a8c9bc051d7f6e786e0ff604.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}" loading="lazy"> quadratisch sind, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein <a href="Gemischt-ganzzahlige_Optimierung" title="Gemischt-ganzzahlige Optimierung">gemischt-ganzzahliges quadratisches Optimierungsproblem</a> (MIQP oder ggf. MIQCP)</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ed9ac67680c2f2e960e7804c29724c1c96fc773.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.702ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R^{n}} \times \mathbb {Z^{m}} }" loading="lazy"> gilt und beliebig viele der Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936dea58dfe3ef83ab7bffd3c42c82dce291e291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i},\ i\in I,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2090db0c7dd3a8a8c9bc051d7f6e786e0ff604.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j},\ j\in J,}" loading="lazy"> beliebig nichtlinear sind, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein <a href="Gemischt-ganzzahlige_Optimierung#Mathematische_Definition" title="Gemischt-ganzzahlige Optimierung">gemischt-ganzzahliges nichtlineares Optimierungsproblem</a> (MINLP)</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {Z} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {Z} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d61d589fcf161e7dfd06c9e1aaac7427807b87a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.654ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {Z} ^{n}}" loading="lazy"> gilt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein <a href="Kombinatorische_Optimierung" title="Kombinatorische Optimierung">kombinatorisches Optimierungsproblem</a>.</li>

<li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/615f4ee928c0bb72f0a5d7a88580f7f5c739f06c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gilt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> (<a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbar</a>) unendlich viele Gleichungsrestriktionen besitzt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ein semi-infinites Optimierungsproblem (SIP).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Optimierungsmethoden">Optimierungsmethoden</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Mathematische_Optimierung#Optimierungsmethoden" title="Mathematische Optimierung">Mathematische Optimierung#Optimierungsmethoden</a></div>

Einen Algorithmus, der ein Optimierungsproblem löst, nennt man <a href="Mathematische_Optimierung#Optimierungsmethoden" title="Mathematische Optimierung">Optimierungsmethode</a> oder Optimierungsalgorithmus. Je nach Klasse des Optimierungsproblems kommen verschiedene Verfahren zum Einsatz. Neben spezialisierten Verfahren, wie etwa dem <a href="Dijkstra-Algorithmus" title="Dijkstra-Algorithmus">Dijkstra-Algorithmus</a> zur Bestimmung kürzester Wege gibt es auch allgemeine Lösungsverfahren, welche anwendungsunabhängig basierend auf der Kenntnis der Problemklasse eingesetzt werden können. Am bekanntesten sind vermutlich die Verfahren der nichtlinearen Optimierung zur Bestimmung lokaler Optimalpunkte wie das <a href="Gradientenverfahren" title="Gradientenverfahren">Gradientenverfahren</a>, das <a href="Newtonverfahren" title="Newtonverfahren">Newtonverfahren</a> und <a href="Quasi-Newton-Verfahren" title="Quasi-Newton-Verfahren">Quasi-Newton-Verfahren</a>. Für die Minimierung der Verlustfunktion im Bereich <a href="Maschinelles_Lernen" title="Maschinelles Lernen">Machine Learning</a> werden typischerweise leichtfüßige Varianten des Gradientenverfahrens wie das stochastische Gradientenverfahren (stochastic gradient descent) eingesetzt. Für LPs kommen das <a href="Simplex-Verfahren" title="Simplex-Verfahren">Simplex-Verfahren</a> sowie <a href="Innere-Punkte-Verfahren" title="Innere-Punkte-Verfahren">Innere-Punkte-Methoden</a> zum Einsatz, wobei letztgenannte auch zur Lösung nichtlinearer konvexer Optimierungsprobleme verwendet werden. Optimierungsprobleme, in denen auch ganzzahlige Variablen auftreten, können exakt mit <a href="Branch-and-Bound" title="Branch-and-Bound">Branch-and-Bound</a> sowie <a href="Branch-and-Cut" title="Branch-and-Cut">Branch-and-Cut</a> Methoden gelöst werden. Darüber hinaus können auch anwendungsspezifische Heuristiken wie die <a href="Nearest-Neighbor-Heuristik" title="Nearest-Neighbor-Heuristik">Nearest-Neighbor-Heuristik</a> oder allgemeine <a href="Metaheuristik" title="Metaheuristik">Metaheuristiken</a> eingesetzt werden, die in der Regel jedoch keine Aussage über die Qualität der gefundenen Lösung treffen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Optimierungsproblem" class="extiw external" title="wikt:Optimierungsproblem">Wiktionary: Optimierungsproblem</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&query=4390818-4">Literatur zum Optimierungsproblem</a> im Katalog der <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">Deutschen Nationalbibliothek</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Oliver Stein: <cite style="font-style:italic">Grundzüge der Globalen Optimierung</cite>. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-62533-0, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-55360-2">10.1007/978-3-662-55360-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Optimierungsproblem&rft.au=Oliver+Stein&rft.btitle=Grundz%C3%BCge+der+Globalen+Optimierung&rft.date=2021&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-55360-2&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=9783662625330&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Nathan Sudermann-Merx: <cite style="font-style:italic">Einführung in Optimierungsmodelle</cite>. Springer, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67380-5, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-67381-2">10.1007/978-3-662-67381-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Optimierungsproblem&rft.au=Nathan+Sudermann-Merx&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+Optimierungsmodelle&rft.date=2023&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-67381-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783662673805&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Bernhard Korte, Jens Vygen: <cite style="font-style:italic">Combinatorial optimization: theory and algorithms</cite> (= <cite style="font-style:italic">Algorithms and combinatorics</cite>). 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24487-2 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~kpanagio/KombOpt/book.pdf">uni-muenchen.de</a> [PDF; abgerufen am 21. Januar 2024]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Optimierungsproblem&rft.au=Bernhard+Korte%2C+Jens+Vygen&rft.btitle=Combinatorial+optimization%3A+theory+and+algorithms&rft.date=2012&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=9783642244872&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer&rft.series=Algorithms+and+combinatorics" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Christodoulos A. Floudas, Xiaoxia Lin: <cite style="font-style:italic">Mixed Integer Linear Programming in Process Scheduling: Modeling, Algorithms, and Applications</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annals of Operations Research</cite>. Band 139, Nr. 1, Oktober 2005, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220254-5330%22&key=cql">0254-5330</a>, S. 131–162, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/s10479-005-3446-x">10.1007/s10479-005-3446-x</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lin.engin.umich.edu/wp-content/uploads/sites/551/2021/10/Mixed-Integer-Linear-Programming-in-Process-Scheduling.pdf">umich.edu</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Optimierungsproblem&rft.atitle=Mixed+Integer+Linear+Programming+in+Process+Scheduling%3A+Modeling%2C+Algorithms%2C+and+Applications&rft.au=Christodoulos+A.+Floudas%2C+Xiaoxia+Lin&rft.date=2005-10&rft.doi=10.1007%2Fs10479-005-3446-x&rft.genre=journal&rft.issn=0254-5330&rft.issue=1&rft.jtitle=Annals+of+Operations+Research&rft.pages=131-162&rft.volume=139" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Stephen P. Boyd, Lieven Vandenberghe: <cite style="font-style:italic">Convex optimization</cite>. 29. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge / New York / Melbourne / New Delhi / Singapore 2023, ISBN 978-0-521-83378-3 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf">stanford.edu</a> [PDF; 6,9 MB; abgerufen am 7. Dezember 2023]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Optimierungsproblem&rft.au=Stephen+P.+Boyd%2C+Lieven+Vandenberghe&rft.btitle=Convex+optimization&rft.date=2023&rft.edition=29.&rft.genre=book&rft.isbn=9780521833783&rft.place=Cambridge+%2F+New+York+%2F+Melbourne+%2F+New+Delhi+%2F+Singapore&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none">

</li>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4390818-4">4390818-4</a> </div>

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